【已知等差数列{an}中已知等差数列{an】在数学学习中，等差数列是一个重要的知识点，尤其是在高中阶段的数列部分。等差数列是指从第二项开始，每一项与前一项的差为一个常数的数列。这个常数称为公差，通常用字母 $ d $ 表示。本文将对已知等差数列 {an} 中的相关知识进行总结，并通过表格形式清晰展示其基本性质和公式。
一、等差数列的基本概念
等差数列 {an} 是指满足以下条件的数列：
- 第一项为 $ a_1 $
- 公差为 $ d $
- 每一项与前一项的差恒为 $ d $
即：
$$
a_n = a_{n-1} + d \quad (n \geq 2)
$$
二、等差数列的通项公式
等差数列的第 n 项（通项）公式为：
$$
a_n = a_1 + (n - 1)d
$$
其中：
- $ a_1 $：首项
- $ d $：公差
- $ n $：项数
三、等差数列的求和公式
等差数列前 n 项的和 $ S_n $ 的公式为：
$$
S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d
$$
四、等差数列的性质总结
| 项目 | 内容 |
| 定义 | 每一项与前一项的差为定值的数列 |
| 通项公式 | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ |
| 前 n 项和 | $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ 或 $ S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d] $ |
| 公差 | $ d = a_n - a_{n-1} $ |
| 递增/递减 | 当 $ d > 0 $ 时递增；当 $ d < 0 $ 时递减 |
| 等差中项 | 若三个数成等差，则中间的数是等差中项，即 $ b = \frac{a + c}{2} $ |
五、实例分析
假设有一个等差数列 {an}，其中：
- 首项 $ a_1 = 3 $
- 公差 $ d = 2 $
则：
- 第 1 项：$ a_1 = 3 $
- 第 2 项：$ a_2 = 3 + 2 = 5 $
- 第 3 项：$ a_3 = 5 + 2 = 7 $
- 第 4 项：$ a_4 = 7 + 2 = 9 $
- 第 5 项：$ a_5 = 9 + 2 = 11 $
前 5 项和为：
$$
S_5 = \frac{5}{2}(3 + 11) = \frac{5}{2} \times 14 = 35
$$
六、小结
等差数列是数列中的一种基础类型，掌握其通项公式和求和公式是解决相关问题的关键。通过对等差数列的性质进行系统归纳，有助于提高解题效率和逻辑思维能力。在实际应用中，等差数列广泛用于金融计算、物理运动分析等领域，具有重要的现实意义。